MATEMÁTICA

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Questões:

01. (FUVEST) Considere todas as trinta e duas seqüências, com cinco elementos cada uma, que podem ser formadas com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas seqüências possuem pelo menos três zeros em posições consecutivas?

a) 3
b) 5
c) 8
d) 12
e) 16


02. (VUNESP) De uma  urna contendo 10 bolas coloridas, sendo 4 brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 1 verde, retiram-se, de uma vez, 4 bolas. Quantos são os casos possíveis em que aparecem exatamente uma bola de cada cor?

a) 120
b) 72
c) 24
d) 18
e) 12


03. (MACK) Cada um dos círculos da figura ao lado deverá ser pintado com uma única cor, escolhida dentre quatro disponíveis. Sabendo-se que dois círculos consecutivos nunca serão pintados com a mesma cor, então o número de formas de se pintar os círculos é:                                                      
a) 100
b) 240
c) 729
d) 2916
e) 5040


04. (UEL) Um professor de Matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 42 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação?

a) 861
b) 1722
c) 1764
d) 3444
e) 242


05. (UNIV. EST. DE FEIRA DE SANTANA) O número de equipes de trabalho que poderão ser formadas num grupo de dez indivíduos, devendo cada equipe ser constituída por um coordenador, um secretário e um digitador, é:

a) 240
b) 360
c) 480
d) 600
e) 720


06. (MACK) Os polígonos de k lados (k múltiplos de 3), que podemos obter com vértices nos 9 pontos da figura, são em número de:
a) 83
b) 84
c) 85
d) 168
e) 169

 
07. (MACK) Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais somente 4 são advogados, para formar um único júri com 7 jurados. O número de formas de compor o júri, com pelo menos 1 advogado, é:

a) 120
b) 108
c) 160
d) 140
e) 128


08. Do cardápio de uma festa constavam dez diferentes tipos de salgadinhos dos quais só quatro seriam servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempre só 2 diferentes tipos de salgadinhos frios, e só 2 diferentes dos quentes. De quantos modos diferentes, teve o garçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções?

a) 90
b) 21
c) 240
d) 38
e) 80


09. (ITA) O número de soluções inteiras, maiores ou iguais a zero, da equação x + y + z + w = 5 é:

a) 36
b) 48
c) 52
d) 54
e) 56


10. (MACK) Dentre os anagramas distintos que podemos formar com n letras, das quais duas são iguais, 120 apresentam estas duas letras iguais juntas. O valor de n é:

a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
c) 122Resolução:

01. C	02. C	03. D	04. B
05. E	06. E	07. A	08. A
09. E	10. C		Binômio de Newton - Exercícios Exercícios sobre binômio de newton Questões: 01. (UNESP) Se n  é um número inteiro positivo, pelo símbolo n!  subentende-se o produto de n fatores distintos, n . (n - 1) . (n - 2) ... 2 . 1. Nestas condições, qual é o algarismo das unidades do número(9!8!)7!? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Para as questões 02 a 05 - Utilizando o Teorema do Binômio de Newton, desenvolver: 02. (x + y)3   03. (x - y)4 04. (2x + 1)5 05. (x - 2)6 06. Calcular o quarto termo do desenvolvimento de (x2 + 2)10, feito segundo os expoentes decrescentes de x. 07. (CESGRANRIO) O coeficiente de x4 no polinômio P(x) = (x + 2)6 é: a) 64 b) 60 c) 12 d) 4 e) 24 08. Calcular a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de (3x + 2y)5. 09. A soma dos coeficientes numéricos dos termos do desenvolvimento de (x - y)104 é: a) 1 b) -1 c) 0 d) 104 e) 2 10. A soma dos coeficientes numéricos dos termos do desenvolvimento de (3x - 2y)n é: a) 1 b) -1 c) 2 d) 2n e) -2nResolução: 01. A 02. x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 03. x4 - 4x3y + 6x2y2 - 4xy3 + y4 04. 32x5 + 80x4 + 80x3 + 40x2 + 10x + 1 05. x6 - 12x5 + 60x4  - 160x3 + 240x2 - 192x + 64 06. 960 . x14 07. B 08. 3125 09. C 10. A Conjuntos - Exercícios Exercícios sobre conjuntos Leia o artigo: Conjuntos Numéricos Questões: 01. Assinale a FALSA: a) Ø Ì{3} b) {3}Ì{3} c) Ø Ï{3} d) 3 Î{3} e) 3 = {3} 02. (PUC) Para os conjuntos A = {a} e B = {a, {A}} podemos afirmar: a) B Ì A b) A = B c) A ÎB d) a = A e) {A}ÎB 03. (FATEC) Sendo A = {2, 3, 5, 6, 9, 13} e B = {ab | a ÎA, b ÎA e a ¹ b}, o número de elementos de B que são números pares é: a) 5 b) 8 c) 10 d) 12 e) 13 04. (UnB) Dado o conjunto {a, b, c, d, e, f, g} o número máximo de subconjuntos distintos é: a) 21 b) 128 c) 64 d) 32 e) 256     05. (FEI) Se n é o número de subconjuntos não-vazios do conjunto formado pelos múltiplos estritamente positivos de 5, menores do que 40, então o valor de n é: a) 127 b) 125 c) 124 d) 120 e) 110 06. No último clássico Corinthians x Flamengo, realizado em São Paulo, verificou-se  que só foram ao estádio paulistas e cariocas e que todos eles eram só corintianos ou só flamenguistas. Verificou-se também que, dos 100.000 torcedores, 85.000 eram corintianos, 84.000 eram paulistas e que apenas 4.000 paulistas torciam para o Flamengo. Pergunta-se: a) Quantos paulistas corintianos foram ao estádio? b) Quantos cariocas foram ao estádio? c) Quantos não-flamenguistas foram ao estádio? d) Quantos flamenguistas foram ao estádio? e) Dos paulistas que foram ao estádio, quantos não eram flamenguistas? f) Dos cariocas que foram ao estádio, quantos eram corintianos? g) Quantos eram flamenguistas ou cariocas? h) Quantos eram corintianos ou paulistas? i) Quantos torcedores eram não-paulistas ou não-flamenguistas? 07. (ESAL) Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 pessoas assistem o canal B, das quais 150 assistem ambos os canais A e B e 80 assistem outros canais distintos de A e B. O número de pessoas consultadas foi: a) 800 b) 720 c) 570 d) 500 e) 600 08. (UF - Uberlândia) Num grupo de estudantes, 80% estudam Inglês, 40% estudam Francês e 10% não estudam nenhuma dessas duas línguas. Nesse grupo, a porcentagem de alunos que estudam ambas as línguas é: a) 25% b) 50% c) 15% d) 33% e) 30% 09. (VUNESP) Uma população utiliza 3 marcas diferentes de detergente: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado colheram-se os resultados tabelados abaixo: Marcas A B C A e B A e C B e C A, B e C Nenhuma delas Número de Consumidores 109 203 162 25 28 41 5 115 Pode-se concluir que o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas é: a) 99 b) 94 c) 90 d) 84 e) 79 10. (UF - Viçosa) Fez-se em uma população, uma pesquisa de mercado sobre o consumo de sabão em pó de três marcas distintas A, B e C. Em relação à população consultada e com o auxílio dos resultados da pesquisa tabelados abaixo: Marcas A B C A e B A e C B e C A, B e C Nenhuma delas Número de Consumidores 109 203 162 25 28 41 5 115 Determine: a) O número de pessoas consultadas. b) O número de pessoas que não consomem as marcas A ou C. c) O número de pessoas que consomem pelo menos duas marcas. d) A porcentagem de pessoas que consomem as marcas A e B mas não consomem a marca C. e) A porcentagem de pessoas que consomem apenas a marca C.Resolução: 01. E 02. E 03. C 04. B 05. A 06. a) 80.000        b) 16.000        c) 85.000        d) 15.000        e) 80.000        f) 5.000        g) 20.000        h) 89.000        i) 96.000 07. D 08. E 09. D 10. a) 500        b) 257        c) 84        d) 4%        e) 19,6% Determinantes - Exercícios Questões: a) 64 b) 8 c) 0 d) -8 e) -64 02. Para que o determinante da matriz 1+a     -1                                                           3       1-a seja nulo, o valor de a deve ser:a) 2 ou -2 b) 1 ou 3 c) -3 ou 5 d) -5 ou 3 e) 4 ou -4                       a) não se define; b) é uma matriz de determinante nulo; c) é a matriz identidade de ordem 3; d) é uma matriz de uma linha e uma coluna; e) não é matriz quadrada. 04. Sabendo-se que o determinante associado á matriz   1  -11  6                                                                                    -2   4   -3                                                                                    -3  -7    2 é nulo, concluímos que essa matriz tem: a) duas linhas proporcionais; b) duas colunas proporcionais; c) elementos negativos; d) uma fila combinação linear das outras duas filas paralelas; e) duas filas paralelas iguais. 05. (UESP) Se o determinante da matriz  p  2  2  é igual a -18,                                                              p  4  4                                                              p  4  1então o determinante da matriz  p  -1  2  é igual a:                                                p  -2  4                                                p  -2  1a) -9                                          b) -6 c) 3 d) 6 e) 9 06. (UESP) Se o determinante da matriz  2  1   0  é igual a 10,                                                              k  k   k                                                              1  2  -2 então o determinante da matriz    2       1       0                                                 k+4   k+3   k-1                                                  1        2      -2é igual a: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 07. Calcular o determinante da matriz M= 1   5   2  aplicando o                                                              4   8   3                                                              1   2  -1 Teorema de Laplace e utilizando a 3º coluna. a) 2 b) 1 c) -1 d) -2 e) 3   a) x > 2 b) 0 < x < 5 c) x < -2 d) x > 5 e) 1 < x < 2   a) -4 b) -2 c) 0 d) 1 e) 1131 Resolução: 01. D 02. A 03. B 04. D 05. E 06. C  07. det M = 21 08. D Equação Algébrica - Exercícios Exercícios sobre equação algébrica Leia o artigo: Álgebra Questões: 01. (VUNESP) Assinale a alternativa que indica o polinômio que possui os números 0 e 1 como raízes, sendo 0 uma raiz de multiplicidade 3: a) p(x) = x (x3 - 1) b) p(x) = x (x - 1)3 c) p(x) = x3 (x - 1) d) p(x) = (x3 - x) (x - 1) e) p(x) = x (x3 + x2 - 2) 02. (PUCCAMP) Sabe-se que a equação 2x3 + x2 - 6x - 3 = 0 admite uma única raiz racional e não inteira. As demais raízes dessa equação são: a) inteiras e positivas; b) inteiras e de sinais contrários; c) não reais; d) irracionais e positivas; e) irracionais e de sinais contrários. 03. O polinômio de coeficientes inteiros, de menor grau possível, que tem como raízes 2 e i, pode ser:  a) x3 - 2x2 - x + 2 b) x2 + (2 - i) x - 2 c) x2 - (2 + i) x + 2i d) x3 - 2x2 + x - 2 e) x3 + x2 - x - 2    04. (FUVEST) A equação x3 + mx2 + 2x + n = 0, em que m e n são números reais, admite 1 + i (i sendo a unidade imaginária) como a raiz. Então m e n valem, respectivamente: a) 2 e 2 b) 2 e 0 c) 0 e 2 d) 2 e -2 e) -2 e 0 05. Sabe-se que o número complexo i é solução da equação x4 - 3x2 - 4 = 0. Então: a) essa equação tem uma solução de multiplicidade 2; b) as soluções dessa equação formam uma progressão; c) a equação tem duas soluções reais irracionais; d) a equação tem 2 soluções reais racionais; e) a equação não tem soluções reais. 06. Determinar a sabendo-se que 2 é raiz da equação x4 - 3x3 + 2x2 + ax - 3 = 0. 07. Resolver a equação x4 - 5x2 - 10x - 6 = 0, sabendo-se que duas de suas raízes são -1 e 3. 08. Resolver a equação x3 - 3x2 - x + 3 = 0, sabendo-se que a soma de duas raízes é zero. 09. Sabendo-se que 1 é a raiz da equação x3 - 2x2 + ax + 6 = 0, determinar a e as demais raízes da equação. 10. Sendo P(x) um polinômio de 5° grau que satisfaz as condições 1 = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 0, obter o conjunto-verdade da equação P(x) - 1 = 0 e o valor de P(0). Resolução: 01. C 02. E 03. D 04. E 05. D       06. a = 3/2 07. V = {-1; 3; -1 + 1; -1 - i} 08. O conjunto-verdade da equação é {-1; 1; 3}  09. a = -5 e as demais raízes são -2 e 3. 10. V = {1; 2; 3; 4; 5} e P(0) = 2 Equação Elementar - Exercícios Questões: 01. A idade de dona Helena é igual à soma dos números de filhos e netos que ela tem. Cada um de seus filhos tem tantos filhos quantos são seus irmãos. Sabendo-se que dona Helena tem entre 70 e 85 anos, podemos concluir que sua idade, em anos, é:                                  a) 72                               b) 75                           c) 78                d) 80                           e) 81                                                                   02. Uma pessoa colocou, em três montes alinhados, a mesma quantidade de bolinhas. Em seguida, fez as seguintes operações: retirou de cada um dos montes laterais 3 bolinhas e colocou-as no monte do meio. Depois, retirou do monte do meio tantas bolinhas quantas ficaram no monte da esquerda. Desse modo, o monte do meio ficou com: a) 9 bolinhas; b) 15 bolinhas; c) um número par de bolinhas; d) tantas quantas em cada monte lateral; e) não se pode determinar a quantidade, pois faltam dados. 03. Um estudante precisa de n  dias para ler um livro de 270 páginas, lendo p páginas por dia. Se ele ler p + 15 páginas por dia, levará n – 3 dias na leitura. O valor de n + p é: a) 35                               b) 39                            c) 54                           d) 42                           e) 72 04. Na equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, os números a e c têm sinais contrários. Pode-se afirmar que: a) A equação tem duas raízes reais de sinais contrários. b) A equação tem duas raízes reais positivas. c) A equação tem duas raízes reais negativas. d) A equação pode não ter raízes reais.  e) n.d.a. 05. Uma equação do 2º grau, cujo conjunto-verdade é {a, -b}, é:  a) 3x2 + x – 2 = 0 b) 9x2 + 3x – 2 = 0 c) 9x2 – 3x + 2 = 0 d) 9x2 – 3x – 2 = 0 e) 2x2 – 9x – 3 = 0 06. A equação mx2 + 4x + m = 0 não admite raízes reais se: a) m = 0 b) –2 < m < 2 c) –4 < m < 4 d) m < -2 e m > 2 e) m < -2 ou m > 2   07. (UNICID) O valor de m, para que uma das raízes da equação x2 + mx + 27 = 0 seja o quadrado da outra é: a) -3 b) -9 c) -12 d) 3 e) 6 08. Qual é o número que se deve subtrair de cada fator do produto 5 x 8 para que esse produto diminua de 42? a) 6 ou 7 b) 2 ou -1 c) -20 ou 2 d) 3 ou -14 e) 4 ou 40 09. (PUC) Um professor propôs aos seus alunos a resposta de certa equação do 2° grau. Um dos alunos copiou errado apenas o coeficiente do termo do 1° grau e encontrou as raízes 1 e -3; outro, copiou errado apenas o termo constante, encontrando as raízes -2 e 4. Resolva a equação original, proposta por aquele professor. 10. (PUCCAMP) Se v e w são as raízes da equação x2 + ax + b = 0, onde a e b são coeficientes reais, então v2 + w2 é igual a:  a) a2 - 2b b) a2 + 2b c) a2 - 2b2 d) a2 + 2b2 e) a2 - b2 Resolução: 01. E 02. A 03. B 04. A 05. B 06. E 07. C 08. A 09. V = {-1; 3} 10. A Fatoração - Exercícios Questões: 01. Fatorar: (a + b) . x + 2(a + b) 02. Fatorar: (x + y)2 - (x - y)2 03. Fatorar: x4 - y4 04. Fatorar: 25x2 + 70x + 49 05. Calcular 2 4992 06. Dado que x = a + x-1, a expressão x2 + x-2  é igual a: a) a2 + 2 b) 2a + 1 c) a2 + 1 d) 2a -1 e) a2 07. (PUC) Sendo x3 + 1 = (x + 1) (x2 + ax + b) para todo x real, os valores de a e b são, respectivamente: a) -1 e -1 b) 0 e 0 c) 1 e 1 d) 1 e -1 e) -1 e 1 08. Decomponha em fatores do primeiro grau: 6x2 - 5xy + y2 09. (FUVEST) A soma dos quadrados de dois números positivos é 4 e a soma dos inversos de seus quadrados é 1. Determine: a) O produto dos dois números. b) A soma dos dois números.                                                      10. (FUVEST) A diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus cubos pode ser: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Resolução: 01. (a + b) . (x . 2) 02. 4xy 03. (x2 + y2) . (x + y) . (x - y) 04. (5x + 7)2 05. 6 245 001 06. A      07. E 08. (3x - y) . (2x - y) 09. a) 2          10. C Exercícios de Frações 01 – Com 12 litros de leite, quantas garrafas de 2/3 de litros poderão ser cheias ? 02 – Coriolano faz um cinto com 3/5 de um metro de couro. Quantos cintos poderão ser feitos com 18 metros de couro ? 03 – Qual é o número cujos 4/5 equivalem a 108 ? 04 – Distribuíram-se 3 1/2  quilogramas de bombons entre vários meninos. Cada um recebeu 1/4  de quilograma. Quantos eram os meninos ? 05 – Para ladrilhar 2/3 de um pátio empregaram-se 5 456 ladrilhos. Para ladrilhar 5/8 do mesmo pátio, quantos ladrilhos seriam necessários ? 06 – Dona Solange pagou R$ 5.960,00 por 4/7 de um terreno. Quanto pagaria por 4/5 desse terreno?  07 – Luciano fez uma viagem de 1.210 km, sendo 7/11 de aeroplano; 2/5 do resto, de trem, 3/8 do novo resto, de automóvel e os demais quilômetros, a cavalo. Calcular quantos quilômetros percorreu a cavalo ? 08 – A terça parte de um número adicionado a seus 3/5 é igual a 28. Calcule a metade desse número ? 09 – Carolina tinha R$ 175,00. Gastou 1/7 de 1/5 dessa importância. Quanto sobrou ? 10 – Que número é necessário somar a um e três quartos para se obter cinco e quatro sétimos ? 11 – A soma de dois números é 850. Um vale 12/5 do outro. Quais são eles ? 12 – Se dos 2/3 de um número subtrairmos seus 3/7, ficaremos com 45. Qual é o número? 13 – A soma de três números é 30. O primeiro corresponde aos 2/3 do segundo e este, aos 3/5 do terceiro. Calcular o produto destes três números. 14 – Se 7/8 de um terreno valem R$ 21.000,00, qual é o valor de 5/48 do mesmo terreno? 15 – Qual é o número que se da metade subtrairmos 8 unidades ficaremos com 1/3 dele mesmo ? 16 – Da terça parte de um número subtraindo-se 12, fica-se com 1/6 do mesmo número. Que número é esse ? 17 – Qual é o número que retirando 48 unidades de sua metade, encontramos a sua oitava parte ? 18 – A diferença entre dois números é 90; um é 3/13 do outro. Calcular os números. 19 – A soma de dois números é 345; um é 12/11 do outro. Calcule-os. 20 – Seu Áureo tendo gasto 4/7 do dinheiro que possuía, ficou com 1/3 dessa quantia mais R$ 164,00. Quanto tinha o velho Áureo?   21 – Divida R$ 1590,00 em três partes de modo que a primeira seja 3/4  da segunda e esta 4/5 da terceira. 22 – Se eu tivesse apenas 1/5 do que tenho, mais R$ 25,00. teria R$ 58,00. Quanto tenho ? 23 – A nona parte do que tenho aumentada de R$ 17,00 é igual a R$ 32,50. Quanto possuo ? 24 – Zé Augusto despendeu o inverso de 8/3 de seu dinheiro e ficou com a metade mais R$ 4,30. Quanto possuía ? 25 – Repartir 153 cards em três montes de forma que o primeiro contenha 2/3 do segundo o qual deverá ter 3/4 do terceiro. 26 – Distribuir 3.717 tijolos por três depósitos de tal maneira que o primeiro tenha 3/4  do segundo e este 5/6 do terceiro. 27 – O diretor de um colégio quer distribuir os 105 alunos da 4ª série em três turmas de modo que a 1ª comporte a terça parte do efetivo; a 2ª, 6/5 da 1ª, menos 8 estudantes e a 3ª, 18/17 da 2ª. Quantos alunos haverá em cada turma ? 28 – Dividiu-se uma certa quantia entre três pessoas. A primeira recebeu 3/5 da quantia, menos R$ 100,00; a segunda, 1/4 , mais R$ 30,00 e a terceira, R$ 160,00. Qual era a quantia ? 29 – Um número é tal que, se de seus 2/3 subtrairmos 1.036, ficaremos com 4/9 do mesmo. Que número é esse?  30 – Das laranjas de uma caixa foram retirados 4/9, depois 3/5 do resto, e ficaram 24 delas. Quantas eram as laranjas ? 31 – Marieta tinha R$ 240,00. Gastou um quinto dessa quantia, e, depois, a terça parte do resto. Com quanto ficou ?  32 – Repartir R$ 671,00 entre três pessoas de modo que a primeira seja contemplada com 2/5 do que receber a segunda e esta, 3/8 do receber a terceira. 33 – Dividir R$ 480,00 por três pessoas, de modo que as  partes da primeira e da segunda sejam, respectivamente, 1/3 e 4/5 da parte a ser recebida pela terceira 34 – Argemiro tinha R$ 375,00. Despendeu 2/5, menos R$ 6,00; depois a terça parte do resto, mais R$ 18,00. Quanto sobrou ? 35 – Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda, em 12 horas. Que fração do reservatório encherão em uma hora, as duas juntas ? 36 – Uma torneira enche um reservatório em 2 horas e outra em 3 horas. Ambas, em que tempo enchê-lo-ão ?    37 – Uma torneira enche uma cisterna em 1/8 da hora e uma válvula o esvazia em 1/4 da hora. Abertas, em que tempo o reservatório ficará completamente cheio ?  38 – Uma torneira enche um depósito d’água em 1/14 da hora enquanto uma válvula pode esvaziá-lo em 1/9 da hora. Trabalhando juntas, em quanto tempo o líquido contido no depósito atingirá seus 5/6 ? 39 – Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda, em 10 horas. A primeira é conservada aberta durante 2/3 da hora e a segunda durante 1/2 hora. Que fração do reservatório ficará cheia ?  40 – Claudia fez 2/9 de um trabalho em 12 horas e Mariana, 4/7 do resto em 8 horas. Quantas horas levarão para fazer a mesma obra, se trabalharem juntas ? 41 – Taninha fez 2/5 de um bordado em 8 horas e Clarisse, 1/3 do resto em 6 horas. Em quanto tempo poderão concluí-lo, se trabalharem juntas ? 42 – Vó Marieta é capaz de fazer um bordado em 16 horas e tia Celeste, 5/7 do resto em 15 horas. Em quanto tempo aprontarão o bordado todo, se operarem juntas ? 43 – Roberval, um investidor no mercado de capitais, perdeu a quarta parte de um capital. Em outros negócios, ganhou o quíntuplo de R$ 30.000,00. Sendo a fortuna atual o dobro do capital inicial. Que capital era esse ? 44 – Um quitandeiro vendeu ao primeiro freguês 3/5 das melancias que tinha, mais quatro, e ao segundo, 1/3, também do total. Tendo o primeiro ficado com mais duas dúzias de melancias do que o outro, pergunta-se quantas melancias o comerciante possuía e com quantas ficou ? 45 – Andréa tem 2/9 do dinheiro necessário para comprar um apartamento, e seu marido, 3/11 dessa quantia. Se a essa importância o casal adicionar R$ 3.500,00 poderão comprar a casa própria. Qual é o preço do imóvel ? Quanto tem cada um deles ? 46 – Uma torneira enche um reservatório em 6 horas e outra, em 2 horas. Ambas, funcionando conjuntamente, em que tempo encherão o reservatório ? 47 – Uma torneira enche um tanque em duas horas e outra o esvazia em dez horas. O tanque estando vazio e abrindo-se as duas torneiras, em que tempo ficará ele completamente cheio ? 48 – Silvana executa um bordado em nove horas de trabalho e Fernanda, em doze horas. Com auxílio de Eliane, aprontam-no em quatro horas. Calcular o tempo em que Eliane faria o mesmo bordado sozinha. 49 – Alfredo pode pintar uma casa em sete horas de trabalho e seu irmão, em cinco horas. Juntos, que fração do trabalho executarão em uma hora ? Em quanto tempo farão todo a pintura da casa ? 50 – Um trem partiu do Rio com um certo número de passageiros. Na primeira parada, saltaram 3/7 dos passageiros e na quarta entraram 40 pessoas. Em outras estações saltaram 5/8 dos passageiros restantes. O trem chegou à estação final com 36 passageiros. Com quantos passageiros o trem partiu do Rio ?  51 – Um número vale 8/5 de um segundo ou 2/3 de um terceiro. Calcular os três números sabendo que sua soma é igual a 500. 52 – Cuidadosamente, Severina, a empregada dos “Cavalcante” arruma uma bela cesta de maçãs. O patriarca ao ver as maçãs toma para si 1/6 das frutas, sua esposa pega 1/5 das restantes, o filho mais velho pega para si 1/4 do restante, o filho do meio e o mais novo pegam, respectivamente 1/3 e 1/2 dos restantes. Quando Severina chega e percebe  o cesto praticamente vazio, fica magoada com a gulodice dos patrões e decide pegar para si as 3 frutas restantes. Quantas eram as maçãs arrumadas originalmente por Severina ? Resolução dos exercícios de frações 01) 18 garrafas 02)  30 cintos 03) 135 04)  14 meninos 05) 5.115 06) R$ 8.344,00 07)  165 km 08) 15 09) R$ 170,00 10) 11) 600 e 250 12) 189 13)  810 14) R$ 2.500,00 15)  48 16) 72 17)  128 18)  117 e 27 19) 180 e 165 20)  R$ 1.722,00 21)  R$ 397,50 , R$ 530,00 e R$ 662,50 22)  R$ 165,00 23) R$ 139,50 24)  R$ 34,40 25) 34 , 51 e 68 26)  945, 1260 e 1512 27) 35 , 34 e 36 28) R$ 600,00 29)  4.662 30) 108 31) R$ 128,00 32)  R$ 66,00 , R$ 165,00 e R$ 440,00 33) R$ 75,00 , R$ 180,00 e R$ 225,00 34) R$ 136,00 35) 3/20 36)  1 horas e 12 minutos 37) 1/4 h ou 15 min 38) 1/6 h ou 10 min 39)  17/180 40) 13 h 30 min 41)  12 h 42)   h 43)  R$ 120.000,00 44)  75 e 1 45)  R$ 6.930,00, R$ 1.540,00 e R$ 1.890,00 46) 1h 30 min 47)  2 h 30 min 48) 18 horas 49)  12/35 e 2 h 55 min 50) 98 51)  160 , 100 e 240 52) 18  maçãs Por: Professor Luiz Fernando Função Polinomial do primeiro grau - Exercícios Exercícios sobre função polinomial do primeiro grau Leia o artigo: Polinômios Questões: 01. (UNIFOR) A função f, do 1° grau, é definida por f(x) = 3x + k. O valor de k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5   02. (EDSON QUEIROZ - CE) O gráfico abaixo representa a função de ℝ em ℝ dada por f(x) = ax + b (a, b Îℝ). De acordo com o gráfico conclui-se que: a) a < 0 e b >0 b) a < 0 e b < 0 c) a > 0 e b > 0 d) a > 0 e b < 0 e) a > o e b = 0 Resolva, em R, as inequações de 03 a 05 03. 2x - 10 < 4 04. -3x + 5 ³ 2 05. -(x - 2) ³ 2 - x Resolva, em R, as inequações de 06 a 08 06.  x - 3 ³ 3 + x 07. -x + 1 £ x + 1 08. -x - 4 > -(4 -x) 09. (MACK) Em R, o produto das soluções da inequação 2x - 3 £ 3 é: a) maior que 8 b) 6 c) 2 d) 1 e) 0 10. (UNICAMP) Numa escola é adotado o seguinte critério: a nota da primeira prova é multiplicada por 1, a nota da segunda prova é multiplicada por 2 e anota da terceira prova é multiplicada por 3. Os resultados após somados, são divididos por 6. Se a média obtida por esse critério for maior ou igual a 6,5 o aluno é dispensado das atividades de recuperação. Suponha que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5 na segunda prova. Quanto precisará tirar na terceira prova para ser dispensado da recuperação? Resolução: 01. E 02. A 03. V = (x Î R| x < 7) 04. V = (x Î R| x  £ 1) 05. V = R 06. V = f 07. V = R 08. V = R* 09. E 10. No mínimo 7,9 Inversão de Matrizes - Exercícios Questões: 04. Sendo A e B matrizes inversíveis de mesma ordem, resolver a equação matricial A.X.At = B. 05. Seja Q uma matriz 4 x 4 tal que det Q = 0 e Q3 + 2Q2 = 0. Calcule det Q. 06. Demonstrar que (AB)-1 = B-1 . A-1, desde que as matrizes A e B sejam inversíveis e de mesma ordem. 08. (PUC) Sendo A e B matrizes inversíveis de mesma ordem e X uma matriz tal que (X . A)t = B, então: a) X = A-1 . Bt   b) X = Bt . A-1  c) X = (B . A)t  d) X = (AB)t e) X = At . B-1 09. No que se refere à solução da equação A . X = B em que A e B são matrizes quadradas de ordem 3, pode-se dizer que:  a) a equação não pode ter solução;   b) a equação nunca tem solução;  c) a equação tem sempre uma solução que é X = B ;                                                                         A  d) a equação tem sempre uma solução que é X = B . A-1 e) a equação tem sempre uma solução que é X = A-1 . B. 10. (ITA) Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem 2 que satisfazem a seguinte propriedade: existe uma matriz M inversível tal que A = M-1 BM. Então: a)  det (-At) = det B b) det A = -det B c) det (2A) = 2 det B d) Se det B ¹ 0, então det (-AB) < 0 e) det (A - I) = -det (I - B) Resolução: 01. a = -1 02. a = 2 03. a = 15 04. V = {A-1 . B . (At)-1} 05. det Q = 16 06. Lembrando que AB = I  Þ A-1 = B e que a multiplicação de matrizes é associativa, temos:                (AB) . (B-1 . A-1) = A . (B . B-1) . A-1 = A . I . A-1 = A . A-1 = I                Se (AB) . (B-1 . A-1) = I, então (AB)-1 = B-1 . A-1 07. R = -1 08. B 09. A 10. A Função Polinomial do Segundo Grau - Exercícios Exercícios sobre função polinomial do segundo grau Leia o artigo: Polinômios Questões: 01. (UNIFORM) O gráfico da função f, de R em R, definida por f(x) = x2 + 3x - 10, intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A distância AB é igual a: a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9 02. (CEFET - BA) O gráfico da função y = ax2 + bx + c tem uma só intersecção com o eixo Ox e corta o eixo Oy em (0, 1). Então, os valores de a e b obedecem à relação:  a) b2 = 4a b) -b2 = 4a c) b = 2a d) a2 = -4a e) a2 = 4b 03. (ULBRA) Assinale a equação que representa uma parábola voltada para baixo, tangente ao eixo das abscissas: a) y = x2 b) y = x2 - 4x + 4 c) y = -x2 + 4x - 4 d) y = -x2 + 5x - 6 e) y = x - 3 04. A solução da inequação (x - 3) (-x2 + 3x + 10) < 0 é: a) -2 < x < 3 ou x > 5 b) 3 < x < 5 ou x < -2 c) -2 < x < 5 d) x > 6 e) x < 3 05. Os valores de x que satisfazem à inequação x2 - 2x + 8) (x2 - 5x + 6) (x2 - 16) < 0 são: a) x < -2 ou x > 4 b) x < -2 ou 4 < x < 5 c) -4 < x < 2 ou x > 4 d) -4 < x < 2 ou 3 < x < 4 e) x < -4 ou 2 < x < 3 ou x > 4 06. (VIÇOSA) Resolvendo a inequação (x2 + 3x - 7) (3x - 5) (x2 - 2x + 3) < 0, um aluno cancela o fator (x2 - 2x + 3), transformando-a em (x2 + 3x - 7) (3x - 5) < 0. Pode-se concluir que tal cancelamento é: a) incorreto porque não houve inversão do sentido da desigualdade; b) incorreto porque nunca podemos cancelar um termo que contenha a incógnita; c) incorreta porque foi cancelado um trinômio do segundo grau; d) correto porque o termo independente do trinômio cancelado é 3; e) correto, pois (x2 - 2x + 3) > 0 , " x Îℝ. 07. (UEL) A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x2 + 12x + 20, tem um valor: a) mínimo, igual a -16, para x = 6; b) mínimo, igual a 16, para x = -12; c) máximo, igual a 56, para x = 6; d) máximo, igual a 72, para x = 12; e) máximo, igual a 240, para x = 20. 08. (PUC - MG) O lucro de uma loja, pela venda diária de x peças, é dado por L(x) = 100 (10 - x) (x - 4). O lucro máximo, por dia, é obtido com a venda de: a) 7 peças b) 10 peças c) 14 peças d) 50 peças e) 100 peças 09. (UE - FEIRA DE SANTANA) Considerando-se a função real f(x) = -2x2 + 4x + 12, o valor máximo desta função é: a) 1 b) 3 c) 4 d) 12 e) 14 10. (ACAFE) Seja a função f(x) = -x2 - 2x + 3 de domínio [-2, 2]. O conjunto imagem é: a) [0, 3] b) [-5, 4] c) ]-¥, 4] d) [-3, 1] e) [-5, 3] Resolução: 01. D 02. A 03. C 04. A 05. D 06. E 07. C 08. A 09. E 10. B     Sistemas Lineares - Exercícios Questões: 01. Resolver o sistema abaixo pela Regra de Cramer. 02. Resolver o sistema abaixo pela Regra de Cramer. 03. (UESP) Se o terno (x0, y0, z0) é a solução do sistema abaixo, então 3x0 + 5y0 + 4z0 é igual a:       a) -8       b) -7       c) -6       d) -5       e) -4 04. Calcular a característica da matriz abaixo: 05. O sistema abaixo:          a) só apresenta a solução trivial;       b) é possível e determinado não tendo solução trivial;       c) é possível e indeterminado;       d) é impossível;       e) admite a solução (1; 2; 1) 06. O sistema abaixo:          a) é impossível;       b) é possível e determinado;       c) é possível e indeterminado;       d) admite apenas a solução (1; 2; 3);       e) admite a solução (2; 0; 0) 07. (UEL) O sistema abaixo, de incógnitas x e y, é:       a) impossível, para todo k real diferente de -21;       b) possível e indeterminado, para todo k real diferente de -63;       c) possível e determinado, para todo k real diferente de -21;       d) possível e indeterminado, para todo k real diferente de -3;       e) possível e determinado, para todo k real diferente de -1 e -63. 08. Considere o seguinte sistema de equações de incógnitas x e y:   Esse sistema tem uma única solução para certo número real k que é um:       a) quadrado perfeito       b) número primo       c) número racional não inteiro       d) número negativo       e) múltiplo de 5 09. Se tivermos o sistema abaixo, então x + y + z + t é igual a:       a) -1       b) 7       c) 5       d) 4       e) 5/9 10. Determinar m para que o sistema abaixo tenha apenas a solução trivial.   Resolução: 01 - (2; 3) 02 - (1; 2; 3) 03 - B 04 - 3 05 - D 06 - C 07 - C 08 - A 09 - C 10 - m ¹ 4 Função Logarítmica e Exponencial - Exercícios Exercícios sobre função logarítmica e exponencial Leia o artigo: Logaritmo Questões: 01. (U. E. FEIRA DE SANTANA - BA) O produto das soluções da equação (43 - x)2 - x = 1 é:                                  a) 0 b) 1 c) 4 d) 5 e) 6                                                                   02. (PUCCAMP) Considere a sentença a2x + 3 > a8, na qual x é uma variável real e a é uma constante real positiva. Essa sentença é verdadeira se, por exemplo:                                  a) x = 3 e a = 1 b) x = -3 e a > 1 c) x = 3 e a < 1 d) x = -2 e a < 1 e) x = 2 e a > 1 03. As funções y = ax e y = bx com a > 0 e b > 0 e a b têm gráficos que se interceptam em: a) nenhum ponto; b) 2 pontos; c) 4 pontos; d) 1 ponto; e) infinitos pontos. 04. (U. E. FEIRA DE SANTANA - BA) O gráfico da função real f(x) = x2 - 2: a) intercepta o eixo dos x no ponto (1, 0); b) intercepta o eixo dos x no ponto (0, 1); c) intercepta o eixo dos x no ponto (2, 0); d) intercepta o eixo dos x no ponto (0, -2); e) não intercepta o eixo dos x. 05. (FIC / FACEM) A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil unidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = 1000 . (0,9)x. O número de unidades produzidas no segundo ano desse período recessivo foi de: a) 900 b) 1000 c) 180 d) 810 e) 90   06. (U. E. LONDRINA) Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é: a) o número ao qual se eleva a para se obter b. b) o número ao qual se eleva b para se obter a. c) a potência de base b e expoente a. d) a potência de base a e expoente b. e) a potência de base 10 e expoente a.   07. (PUC) Assinale a propriedade válida sempre: a) log (a . b) = log a . log b b) log (a + b) = log a + log b c) log m . a = m . log ad) log am = log m . a e) log am = m . log a (Supor válidas as condições de existências dos logaritmos) 08. (CESGRANRIO) Se log10123 = 2,09, o valor de log101,23 é: a) 0,0209 b) 0,09 c) 0,209 d) 1,09 e) 1,209 09. Os valores de x que satisfazem log x + log (x - 5) = log 36 são: a) 9 e -4 b) 9 e 4 c) -4 d) 9 e) 5 e -4 10. (UERJ) Em uma calculadora científica de 12 dígitos quando se aperta a tecla log, aparece no visor o logaritmo decimal do número que estava no visor. Se a operação não for possível, aparece no visor a palavra ERRO. Depois de digitar 42 bilhões, o número de vezes que se deve apertar a tecla log para que, no visor, apareça ERRO pela primeira vez é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Resolução: 01. E 02. D 03. D 04. A 05. D 06. B 07. E 08. B 09. D 10. D     Matrizes - Exercícios Questões: 01. Obter a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3 i - j. 02. Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e At sua transposta, determine A, tal que A = 2 . At. 03. (UNIV. CATÓLICA DE GOIÁS) Uma matriz quadrada A é dita simétrica se A = AT e é dita anti-simétrica se AT = -A, onde AT é a matriz transposta de A. Sendo A uma matriz quadrada, classifique em verdadeira ou falsa as duas afirmações: (01) A + AT é uma matriz simétrica (02) A - AT é uma matriz anti-simétrica 04. Se uma matriz quadrada A é tal que At = -A, ela é chamada matriz anti-simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e: Os termos a12, a13 e a23 de M, valem respectivamente: a) -4, -2 e 4 b) 4, 2 e -4 c) 4, -2 e -4 d) 2, -4 e 2 e) 2, 2 e 4   a) x = y = 0 b) x = y = m = n = 0 c) x = y e m = n d) y = -2x e n = -2m e) x = -2y e m = -2n 06. Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C)  são usados botões grandes (G) e pequenos (p). O número de botões por modelos é dado pela tabela: Camisa A Camisa B Camisa C Botões p 3 1 3 Botões G 6 5 5 O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho, é dado pela tabela: Maio Junho Camisa A 100 50 Camisa B 50 100 Camisa C 50 50 Nestas condições, obter a tabela que dá o total de botões usados em maio e junho. RESOLUÇÃO:  07. Sobre as sentenças: I.   O produto das matrizes A3 x 2 . B2 x 1 é uma matriz 3 x 1. II.  O produto das matrizes A5 x 4 . B5 x 2 é uma matriz 4 x 2. III. O produto das matrizes A2 x 3 . B3 x 2 é uma matriz quadrada 2 x 2 É verdade que: a) somente I é falsa; b) somente II é falsa; c) somente III é falsa; d) somente I e III são falsas; e) I, II e III são falsas. 08. (MACK) Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então: a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3; b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3; c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3; d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B; e) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.   a) 3 b) 14 c) 39 d) 84 e) 258 10. (PUC) Se A, B e C são matrizes quadradas e At, Bt e Ct são suas matrizes transpostas, e igualdade falsa entre essas matrizes é: a) (A = B) . C = A . C + B . Cb) (A + B)t = At + Bt c) (A . B)t = At . Bt d) (A - B)C = AC - BC e) (At)t = A Resolução: 01. 02. 03. (01) verdadeira       (02) verdadeira 04. B 05. E 06. Maio Junho Botões p 500 400 Botões G 1100 1050 07. B 08. C 09. D 10. C Média Aritmética - Exercícios Exercícios sobre média aritmética Questões: 01. Calcular  a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9 e 13. 02. Calcular a média aritmética ponderada dos números 35, 20 e 10. 03. a) Calcular a média aritmética Ma, a média geométrica Mg e a média harmônica Mh  dos números 2 e8. b) Compare os três resultados 04. (ITA) Sabe-se que a média harmônica entre o raio e a altura de um cilindro de revolução vale 4. Quanto valerá a razão entre o volume e a área total do cilindro?       a) 1       b) 2       c) 2,5       d) 3       e) 3,5 05. Comprei 5 doces a R$ 1,80 cada um, 3 doces a R$ 1,50 e 2 doces a R$ 2,00 cada. O preço médio, por doce, foi de:       a) R$ 1,75       b) R$ 1,85       c) R$ 1,93       d) R$ 2,00       e) R$ 2,40 06. Uma empresa de embalagem mistura x kg de café tipo A, que custa 4 reais por quilograma, com y kg de café do tipo B, que custa 3,20 reais por quilograma. Calcular o custo de um quilograma dessa mistura quando:       a)  x = y = 5       b) x = 6 e y = 4       c) x = 2 e y = 8 07. (PUCCAMP - 98) Sabe-se que os números x e y fazem parte de um conjunto de 100 números, cuja média aritmética é 9,83. Retirando-se x e y desse conjunto, a média aritmética dos números restantes será8,5. Se 3x - 2y = 125, então:       a) x = 75       b) y = 55       c) x = 85       d) y = 56       e) x = 95 08. (FUVEST) Sabe-se que a média aritmética de 5 números inteiros distintos, estritamente positivos, é 16.O maior valor que um desses inteiros pode assumir é:       a) 16       b) 20       c) 50       d) 70       e) 100 09. (VUNESP) Suponha que o país A receba de volta uma parte de seu território T, que por certo tempo esteve sob a administração do país B, devido a um tratado entre A e B. Estimemos a população de A, antes de receber T, em 1,2 bilhão de habitantes, e a de T em 6 milhões de habitantes. Se as médias de idade das populações A e T, antes de se reunirem, eram, respectivamente, 30 anos e 25 anos, mostre que a média de idade após a reunião é superior a 29,9 anos. 10. (FUVEST) Numa classe com vinte alunos, as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que 8 alunos foram reprovados. A média aritmética das notas desses oito alunos foi 65, enquanto que a média dos aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados 68,8. a) Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos cinco pontos extras. b) Com a atribuição dos cinco pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, atingiram nota para a aprovação?  Resolução: 01 - A média aritmética é 7. 02 - A média aritmética ponderada é 21,67. (considendo peso 1) 03 - a) Ma = 5; Mg = 4; Mh = 3,2        b) Ma > Mg > Mh 04 04 - A 05 - A 06 - a) R$ 3,60       b) R$ 3,68       c) R$ 3,36 07 - C 08 - D 09 - Média final = 29,975 > 29,9   10 - a) 72,2       b) 3 Módulos - Exercícios Exercícios sobre módulos Questões: 01. Resolver, em R, a equação |2x + 1| - |3 – x| = |x – 4|.                                                                   02. Se x ³ 3, então | x - 1 | + | x - 3 | é igual a:                                  a) 2x - 4 b) 2 c) -2x + 4 d)  4 e) 2x - 2                                                                   03. Se 1 £ x £ 3, então | x - 1 | + | x - 3 | é igual a: a) 2x - 4 b) 2 c) -2x + 4 d)  4 e) 2x - 2 04. Para x ÎU, determinando-se o conjunto solução da equação | x + 5 | = | 2x - 11 | verifica-se que: a) o produto dos elementos que pertencem ao conjunto solução é (-256); b) o produto dos elementos que pertencem ao conjunto solução é 32; c) o conjunto solução é unitário e o elemento que pertence ao conjunto é par; d) a soma dos elementos que pertencem ao conjunto solução é 16; e) a soma dos elementos que pertencem ao conjunto solução é zero. 05. (CESGRANRIO) Determine o conjunto solução de desigualdade | x + 1 | - | x | £ x + 2. 06. (FUVEST) Sendo x um número real, (1 + x) (1 - | x | ) ³ 0 se e somente se: a) | x | £ 1s b) x £ 1 c) | x | ³ 1 d) x ³ 1 e) x £ -1 07. Resolver a inequação | x2 - 4 | < 3x.   08. (CESUPA) Considere os conjuntos: A = {x Î R: 2x - | x - 1 | = 4} e B = {x Î R: | 3x - 5 | < 4}. A intersecção entre A e B corresponde ao: a) conjunto vazio b) intervalo ]1/3; 3[ c) conjunto {3; 5/3} d) intervalo ]5/3; 3[ e) conjunto {5/3} 09. Se x £ 1, então | x - 1 | + | x - 3 | é igual a: a) 2x - 4 b) 2 c) -2x + 4 d) 4 e) 2x - 2 Resolução: 01. V = V1 U V2 U V3 U V4 = { b } 02. A 03. B 04. B 05. {x ÎR | x ³ -3} 06. B 07. {x ÎR | 1 < x < 4} 08. A 09. C 09. C 10. C